＜問題＞ 　半径6㎝の円を右の図のように重ねていきます。 　 は円の中心を表しています。 　円周率を3.14として、次の問いに答えなさい。

（1）円を4個重ねたときにできる図形の周囲の長さは何cmですか。
（2）図形の周囲の長さが314cmになるのは、円を何個重ねたときですか。
（3）円を2個重ねたときにできる図形の面積は181.86になります。これをもとにして、円を10個重ねたときに出来る図形の面積を求めなさい。

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この問題は単なる図形問題ではありません。 （1）に取りかかる前に（2）と（3）を読めば、それが分かります。 実は図形問題の姿を借りた規則性の問題。 これに気付けば（2）（3）は簡単！ ここでは2つの解法を比較していきます。

（1）特別規則性を意識しなくても解ける問題ですが、次の小問への展開を意識して解くべき問題です。



　　　　＜等差数列として解く方法＞
　 重なる円がひとつ増えるごとに周囲の長さや面積がどれだけ増えるかを計算して加算していく方法。
　 少しだけ図形的な閃き（ひらめき）が必要。

　 図１の赤い孤と青い孤はそれぞれ同じ長さを表しているので、重なる円がひとつ増えると青い孤２つ分ずつ周囲の長さが増えることが分かる。
　 青い孤の中心角は60°なので、ふたつ分の長さは、

　　　　　

　　　　6×2×3.14××2＝4×3.14cm

　 よって、４個の円を重ねたときの周囲の長さは、
　　　　　 6×2×3.14（１個目の円周）＋4×3.14×3（重なる円が３つ増えたときの増える周囲の長さ）
　　　　 ＝24×3.14
　　　　 ＝75.36cm
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. 75.36cm

　　　　＜のりしろの問題として解く方法＞
　 重なる部分を計算して、円の個数分の円周や面積の合計から引き算する方法。
　 図形が苦手でも分かりやすい。

　　　　

　 図２の緑色の三角形の３辺は、すべて同じ大きさの円の半径なので、正三角形。
　 そうすると、２つの円の重なる部分の周の長さは、中心角が60°の孤の長さの４つ分。
　 よって、４個の円を重ねたときの周囲の長さは、

　　　　　

　　　　 6×2×3.14×4　　　－6×2×3.14××4×3
　　　　 （円４個の円周の合計）　　　（重なる部分３つ分）
　　　　 ＝（48－24）×3.14
　　　　 ＝75.36cm
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. 75.36cm

この（1）で実行した解き方に従って（2）（3）にも取り組んでいきます。

　　　　＜等差数列として解く方法＞
（2）最初の数が、6×2×3.14で、4×3.14ずつ増えていく等差数列と考えられるので、
　周囲の長さが314cmになる時の円の個数は、
　　　　　　 （314－6×2×3.14）÷（4×3.14）＋1
　　　　　　＝（100×3.14－6×2×3.14）÷（4×3.14）＋1
　　　　　　＝88÷4＋1
　　　　　　＝22＋1
　　　　　　＝23
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. 23個

（3）重なる円がひとつ増えるごとに、図３の赤い部分の面積が増えていくと考えれば良い。

　 図３の赤い部分の面積は、
　　　　　 　　181.86－6×6×3.14
　　　　　　 ＝181.86－113.04
　　　　　　 ＝68.82
　 最初の数が、6×6×3.14で、68.82ずつ増えていく等差数列と考えられるので、
　 円を10個重ねたときにできる図形の面積は、
　　　　　 　　6×6×3.14＋68.82×9
　　　　　　 ＝113.04＋619.38
　　　　　　 ＝732.42
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. 732.42

　　　　＜のりしろの問題として解く方法＞
（2）円を１個重ねるごとに、重なる部分がひとつできるので、
　 円１個の円周　6×2×3.14cm　が増えて、

重なる部分の周の長さ　6×2×3.14××4cm　が減ると考えれば良い。
　 つまり、円を１個重ねるごとに、
　　　　　　　 6×2×3.14－6×2×3.14××4
　　　　　　 ＝（12－8）×3.14
　　　　　　 ＝4×3.14cm　増える。
　 よって、周囲の長さが314cmになる時の円の個数は、
　　　　　　 （314－6×2×3.14）÷（4×3.14）＋1
　　　　　　＝（100×3.14－6×2×3.14）÷（4×3.14）＋1
　　　　　　＝88÷4＋1
　　　　　　＝22＋1
　　　　　　＝23
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. 23個

（3）円を１個重ねるごとに、重なる部分（図４の赤い部分）がひとつできるので、
　 円10個の面積の合計から、図４赤い部分９個分の面積を引けば良い。

　　　　　

　 図４の赤い部分の面積は、
　　　　　　　 6×6×3.14×2－181.86
　　　　　　 ＝226.08－181.86
　　　　　　 ＝44.22
　 よって、円を10個重ねたときにできる図形の面積は、
　　　　　　 　6×6×3.14×10－44.22×9
　　　　　　 ＝1130.4－397.98
　　　　　　 ＝732.42
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A. 732.42

　　

攻略のポイント

　

1.取りかかる前に小問を全て読む。
　　　　→応用問題の中で展開するストーリーをつかむ
　
2.円周率（3.14）の計算は出来るだけ先送り！
　　　　→計算の工夫は最善の時短テクニック
　
3.本番の試験ではひとつの問題に複数の単元が絡んできます。
　　　　→単元ごとの“解法”を覚えるのではなく、
　　　　　“考え方”を身につけることが大事！